Ⅴ. 대단원 평가하기 · 삼각비 · 중학교 수학 3학년

A삼각비의 정의

Trigonometric ratios · 4 problems

주제 Ⅴ-1.1

SOH–CAH–TOA, 삼각비 항등식, 정수비 직각삼각형

Q01★

직각삼각형 $ABC$ 에서 $\angle C = 90°$, $\overline{AB} = 5$, $\overline{BC} = 3$, $\overline{AC} = 4$ 일 때 $\sin A$ 의 값은?

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$\sin A = \dfrac{\text{대변}}{\text{빗변}} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{5}$.

Q02★

$\sin A = \tfrac{3}{5}$ 이고 $\angle A$ 가 예각일 때, $\cos A \cdot \tan A$ 의 값은?

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대변 $=3$, 빗변 $=5$ → 인접변 $=4$. $\cos A = \tfrac{4}{5}, \tan A = \tfrac{3}{4}$. $\cos A \cdot \tan A = \tfrac{4}{5} \cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{3}{5}$.
이는 $\tan A = \dfrac{\sin A}{\cos A}$ 라는 정의로부터 $\cos A \cdot \tan A = \sin A$ 임을 보여준다.

Q03★★

$\sin 60° + \cos 30° - \tan 45°$ 의 값을 구하여라.

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$\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \sqrt{3} - 1$

Q04★★

$\sin^2 30° + \cos^2 30°$ 의 값을 구하여라.

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$\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} = 1$.
모든 각에 대해 성립하는 항등식 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 의 한 예.

B특수각·예각의 삼각비

Special & acute angles · 4 problems

주제 Ⅴ-1.2~1.4

30°/45°/60°, 0°·90° 극한, 여각 관계

Q05★

$\tan A = \sqrt{3}$ 이고 $0° < A < 90°$ 일 때 $A$ 의 크기는?

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$\tan 60° = \sqrt{3}$. $A = 60°$.

Q06★★

$\sin 30° \cos 60° + \cos 30° \sin 60°$ 의 값을 구하여라.

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$\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} = 1$.
실제로는 $\sin(30°+60°) = \sin 90° = 1$ 인 사인 덧셈공식의 결과 (고등학교 학습 예고).

Q07★★

$\sin 0° + \cos 0° + \sin 90° + \cos 90° + \tan 0°$ 의 값을 구하여라.

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$0 + 1 + 1 + 0 + 0 = 2$

Q08★★★

$\sin\theta = \cos 35°$ 이고 $0° < \theta < 90°$ 일 때 $\theta$ 의 크기는?

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여각 관계: $\sin\theta = \cos(90°-\theta)$. $\cos 35° = \sin 55°$ 이므로 $\theta = 55°$.

C직각삼각형 활용

Right triangle application · 4 problems

주제 Ⅴ-2.1

미지의 변을 사인·코사인·탄젠트로 구한다.

Q09★

$\triangle ABC$ 에서 $\angle C = 90°$, $\angle A = 30°$, $\overline{AB} = 10$ 일 때 $\overline{BC}$ 의 길이는?

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$\sin 30° = \dfrac{BC}{AB}$ → $BC = 10 \sin 30° = 10\cdot\tfrac{1}{2} = 5$.

Q10★

$\triangle ABC$ 에서 $\angle C = 90°$, $\angle A = 60°$, $\overline{AC} = 6$ 일 때 $\overline{AB}$ 의 길이는?

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$\cos 60° = \dfrac{AC}{AB}$ → $AB = \dfrac{6}{\cos 60°} = \dfrac{6}{1/2} = 12$.

Q11★★

$50\,\text{m}$ 떨어진 곳에서 건물 꼭대기를 올려본각이 $45°$ 였다. 건물의 높이는?

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$\tan 45° = \dfrac{h}{50}$ → $h = 50\tan 45° = 50$.

Q12★★

길이 $10\,\text{m}$ 인 사다리가 지면과 $30°$ 의 각을 이루며 벽에 기대어 있다. 벽에 닿은 부분의 높이는?

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높이 $h = 10\sin 30° = 10\cdot\tfrac{1}{2} = 5\,\text{m}$.

D일반 삼각형의 변

Non-right triangle · 3 problems

주제 Ⅴ-2.2

수선 분할 — 두 변 + 끼인각 / 한 변 + 두 각

Q13★★

$\triangle ABC$ 에서 $a = 5$, $c = 8$, $\angle B = 60°$ 일 때 $b$ 의 길이는?

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$A$ 에서 $BC$ 에 수선 내림. $BH = 8\cos 60° = 4$, $AH = 8\sin 60° = 4\sqrt{3}$. $HC = 5 - 4 = 1$. $b^2 = 48 + 1 = 49$ → $b = 7$.

Q14★★★

$\triangle ABC$ 에서 $a = 4$, $c = 2$, $\angle B = 120°$ 일 때 $b$ 의 길이는?

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$\angle B$ 가 둔각이므로 $A$ 에서 내린 수선의 발 $H$ 가 $CB$ 의 연장선. $\angle ABH = 60°$. $BH = 2\cos 60° = 1$, $AH = 2\sin 60° = \sqrt{3}$. $HC = BH + BC = 1+4=5$. $b^2 = 3+25 = 28$ → $b = 2\sqrt{7}$.

Q15★★★

$\triangle ABC$ 에서 $\angle B = 30°$, $\angle C = 45°$, $a = \overline{BC} = 1 + \sqrt{3}$ 일 때 $\overline{AB} = c$ 의 길이는?

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$A$ 에서 $BC$ 에 수선의 발 $H$ 를 내림. $\triangle ABH$ ($\angle B = 30°$): $AH = c\sin 30° = c/2$, $BH = c\cos 30° = c\sqrt{3}/2$. $\triangle ACH$ ($\angle C=45°$): $AH = CH$ (45-45-90). 따라서 $CH = c/2$. $BH + HC = a$ → $c\sqrt{3}/2 + c/2 = 1+\sqrt{3}$ → $c(\sqrt{3}+1)/2 = 1+\sqrt{3}$ → $c = 2$.

E삼각형·사각형의 넓이

Area · 5 problems

주제 Ⅴ-2.3, Ⅴ-2.4

$S=\tfrac{1}{2}ab\sin C$ / $S=ab\sin C$ / $S=\tfrac{1}{2}d_1d_2\sin\theta$ / 활용 종합

Q16★

$\triangle ABC$ 에서 $a = 4, b = 6, \angle C = 30°$ 일 때 넓이는?

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$S = \tfrac{1}{2}(4)(6)\sin 30° = 12 \cdot \tfrac{1}{2} = 6$.

Q17★★

$\triangle ABC$ 에서 $a = 8, b = 6, \angle C = 120°$ 일 때 넓이는?

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$\sin 120° = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$. $S = \tfrac{1}{2}(8)(6)\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$.

Q18★★

평행사변형의 이웃한 두 변이 $5, 8$ 이고 사잇각이 $60°$ 일 때 넓이는?

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$S = (5)(8)\sin 60° = 40 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$.

Q19★★

사각형의 두 대각선이 각각 $6, 10$ 이고 이들이 이루는 각이 $30°$ 일 때 넓이는?

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$S = \tfrac{1}{2}(6)(10)\sin 30° = 30 \cdot \tfrac{1}{2} = 15$.

Q20★★★

평행사변형 $ABCD$ 에서 $\overline{AB}=6, \overline{AD}=8, \angle A = 60°$ 일 때 짧은 대각선 $\overline{BD}$ 의 길이는?

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$\triangle ABD$ 에서 $D$ 에서 $AB$ 에 수선의 발 $H$ 내림. $AH = 8\cos 60° = 4$, $DH = 8\sin 60° = 4\sqrt{3}$. $HB = 6 - 4 = 2$. $BD^2 = 48 + 4 = 52$. $BD = 2\sqrt{13}$.

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